Question

（08年長(zhǎng)沙一中一模文）如圖，平面，，為中點(diǎn)，

       。

       （1）求證：平面；

       （2）求異面直線與所成角的余弦值；

       （3）求點(diǎn)到平面的距離。

 

 

Answer 1

解析： 解法一：（1）因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141727001.gif' width=41>平面ABC，平面，所以（2分）

       中，，且為中點(diǎn)，所以。

       又，所以平面（4分）

       （2）如圖，

取中點(diǎn)E，連結(jié)、，則，

       所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角。（5分）

       因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141728021.gif' width=132>，所以；

       又平面，平面，所以，

       因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141729025.gif' width=92>，所以平面，

       因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141729028.gif' width=41>平面，所以（6分）

       在中，因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141729031.gif' width=89>，所以，

       在中，因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141730033.gif' width=165>，

       所以。

       在中，因?yàn)?IMG height=41 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141730036.gif' width=99>。所以。

       即異面直線與所成的角的余弦值為。（8分）

       （3）如圖，過作交于，

       因?yàn)?IMG height=17 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141728011.gif' width=40>平面，平面，所以。

       因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141730045.gif' width=95>，

       所以平面（10分）

       在中，。

       所以點(diǎn)到平面的距離是。

解法二：如圖，以C為原點(diǎn)，分別以直線、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系。（1分）

 

       則

       所以中點(diǎn)

       （1）因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141731060.gif' width=283>（2分）

       所以

      

       所以，又，

       所以平面。（4分）

       （2）（6分）

       所以

       即異面直線與所成的角的余弦值為（8分）

       （3）設(shè)平面的法向量，因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141731068.gif' width=96>

       則由， 得

       取，得是平面的一個(gè)法向量（10分）

       又，

       所以點(diǎn)到平面的距離（12分）

解法三：（1）、（2）同解法一。

       （3）設(shè)點(diǎn)C到平面PAD的距離為，

       由（1）平面，

       因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326141731076.gif' width=68>，由三垂線定理，可得，

       又，

       所以，

       。（10分）

       由，得

       即，

       解得

       所以點(diǎn)C到平面的距離是      （12分）