Question

隨著恩施經(jīng)濟(jì)的高速增長，恩施城區(qū)交通出現(xiàn)了較嚴(yán)重的擁堵現(xiàn)象，專家建議，提高清江河上過江大橋的車輛通行能力可以適當(dāng)改善城市的交通狀況．以施州大橋?yàn)檠芯繉ο�，已知大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到或超過200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度v=0；當(dāng)車流密度不超過40輛/千米時(shí)，車流速度v=80千米/小時(shí)；研究表明：當(dāng)40≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時(shí)，求車流速度函數(shù)v（x）的表達(dá)式；通常為保護(hù)大橋，延長使用壽命，過橋車輛限定最高時(shí)速，試問這座大橋限速多少千米/小時(shí)？
（2）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=v•v（x）達(dá)到最大值，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式，關(guān)鍵在于求函數(shù)v（x）在40＜x≤200時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式的形式，用待定系數(shù)法可求得；
（2）當(dāng)0≤x≤40，f（x）=80x≤3200；當(dāng)40＜x≤200時(shí)，f(x)=-

1

2

x2+100x≤f(100)=5000，可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x＞200時(shí)，v（x）=0；當(dāng)0≤x≤40，v（x）=80；當(dāng)40≤x≤200，
設(shè)v（x）=kx+b（a、b為常數(shù)）
則

40k+b=80 200k+b=0

，
∴k=-

1

2

，b=100，
∴v（x）=

80，0≤x≤40 - 1 2 x+100，40＜x≤200 0，x＞200

，
∵v（x）≤v（x）_max=80，
∴這座大橋限速為80千米/小時(shí)；
（2）f（x）=v•v（x）=

80x，0≤x≤40 - 1 2 x2+100x，40＜x≤200 0，x＞200

當(dāng)0≤x≤40，f（x）=80x≤3200；
當(dāng)40＜x≤200時(shí)，f(x)=-

1

2

x2+100x≤f(100)=5000，
所以當(dāng)x=100輛/千米時(shí)，f（x）_max=5000輛/小時(shí)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中等題．