Question

18．如圖，P為正方體ABCD外一點(diǎn)，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2，E為PD中點(diǎn)
（1）求證：PA⊥CE；
（2）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析 （1）取PA中點(diǎn)F，連接EF，BF，證明PA⊥平面EFBC，即可證明PA⊥CE；
（2）求出側(cè)面積與底面積，即可求四棱錐P-ABCD的表面積．

解答 （1）證明：取PA中點(diǎn)F，連接EF，BF，
則EF∥AD∥BC，即EF，BC共面
因?yàn)镻B⊥平面ABCD，所以PB⊥BC，
又因?yàn)锳B⊥BC且AB∩PB=B，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PA，
由于PB=AB，所以BF⊥PA，
又由于BC∩BF=B，
所以PA⊥平面EFBC
因?yàn)镃E⊆平面EFBC，所以PA⊥CE…（6分）
（2）解：設(shè)四棱錐P-ABCD的表面積為S，
由于PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD，
又CD⊥BC，PB∩BC=B
所以CD⊥平面PAB，所以CD⊥PC，即△PCD為直角三角形，
由（1）知BC⊥平面PAB，
而AD∥BC，
所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PA，即△PAD也為直角三角形
綜上，$S=\frac{1}{2}PC•CD+\frac{1}{2}PB•CB+\frac{1}{2}PA•AD+\frac{1}{2}AB•PB+AB•BC=8+4\sqrt{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四棱錐P-ABCD的表面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．