橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P,使得△F1F2P為等腰三角形,則橢圓C的離心率的取值范圍是(  )
分析:分等腰三角形△F1F2P以F1F2為底和以F1F2為一腰兩種情況進(jìn)行討論,結(jié)合以橢圓焦點(diǎn)為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關(guān)系的判斷,建立關(guān)于a、c的不等式,解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍.
解答:解:①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí),
△F1F2P構(gòu)成以F1F2為底邊的等腰三角形,
此種情況有2個(gè)滿(mǎn)足條件的等腰△F1F2P;
②當(dāng)△F1F2P構(gòu)成以F1F2為一腰的等腰三角形時(shí),
以F2P作為等腰三角形的底邊為例,
∵F1F2=F1P,
∴點(diǎn)P在以F1為圓心,半徑為焦距2c的圓上
因此,當(dāng)以F1為圓心,半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí),
存在2個(gè)滿(mǎn)足條件的等腰△F1F2P,
此時(shí)a-c<2c,解得a<3c,所以離心率e
1
3

當(dāng)e=
1
2
時(shí),△F1F2P是等邊三角形,與①中的三角形重復(fù),故e≠
1
2

同理,當(dāng)F1P為等腰三角形的底邊時(shí),在e
1
3
且e≠
1
2
時(shí)也存在2個(gè)滿(mǎn)足條件的等腰△F1F2P
這樣,總共有6個(gè)不同的點(diǎn)P使得△F1F2P為等腰三角形
綜上所述,離心率的取值范圍是:e∈(
1
3
,
1
2
)∪(
1
2
,1)
點(diǎn)評(píng):本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形中,共有6個(gè)不同點(diǎn)P使得△F1F2P為等腰三角形,求橢圓離心率e的取值范圍.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一條斜率為1的直線(xiàn)l與離心率e=
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q兩點(diǎn),直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直線(xiàn)l和橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,上、下頂點(diǎn)為B2,B1,點(diǎn)P(
3
5
a
,m)(m>0)是橢圓C上一點(diǎn),PO⊥A2B2,直線(xiàn)PO分別交A1B1、A2B2于點(diǎn)M、N.
(1)求橢圓離心率;
(2)若MN=
4
21
7
,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)R點(diǎn)是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn),分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線(xiàn)AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點(diǎn)為F1(-1,0),右焦點(diǎn)為F2(1,0),短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B.與x軸不垂直的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,記直線(xiàn)AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線(xiàn)l與y軸相交于定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
(3)當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在△MF1F2內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線(xiàn)l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若直線(xiàn)l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),證明直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BN的交點(diǎn)在直線(xiàn)x=4上.

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同步練習(xí)冊(cè)答案