Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+3x+1

x+1

且此函數(shù)在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值集合．
（2）當(dāng)a∈N^*時(shí)，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且S_n=n•f（n），求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列{a_n}是有固定n項(xiàng)的有窮數(shù)列，現(xiàn)從中抽去某一項(xiàng)（不包括首項(xiàng)、末項(xiàng)）后，余下的項(xiàng)的平均值為31，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，并指出抽去的是第幾項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）函當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)x=-

1

3

，當(dāng)a≠0時(shí)，由

ax2+3x+1=0 x+1≠0

只有一個(gè)解，可知一元二次方程ax²+3x+1=0有兩相等且不等于-1的解或一元二次方程ax²+3x+1=0有一解是x=-1，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值集合．
（2）由已知條件推導(dǎo)出Sn=n•f(n)=2n2+n，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）設(shè)抽去的是第k項(xiàng)，依題意1＜k＜n，由

ak＞a1⇒n＜1或n＞14 ak＜an⇒1＜n＜16

，能求出此數(shù)列共有15項(xiàng)，抽去的是第8項(xiàng)．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域是{x∈R|x≠-1}，
因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)x=-

1

3

，…（1分）
當(dāng)a≠0時(shí)，由

ax2+3x+1=0 x+1≠0

只有一個(gè)解，可以分為兩種情況：
①一元二次方程ax²+3x+1=0有兩相等且不等于-1的解，
即由△=9-4a=0，得a=

9

4

，此時(shí)零點(diǎn)為x=-

2

3

…（2分）
②一元二次方程ax²+3x+1=0有一解是x=-1，此時(shí)a=2…（4分）
綜上所得：實(shí)數(shù)a的取值集合為{

9

4

，0，2}．…（5分）
（2）因?yàn)閍∈N^*，所以a=2，f（x）=2x+1，
即Sn=n•f(n)=2n2+n，所以a₁=3…（7分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，a₁滿足，
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-1．…（9分）
（3）設(shè)抽去的是第k項(xiàng)，依題意1＜k＜n，
由S_n-a_k=31（n-1）可得ak=(2n2+n)-31(n-1)=2n2-30n+31…（11分）
由于

ak＞a1⇒n＜1或n＞14 ak＜an⇒1＜n＜16

解得14＜n＜16，因?yàn)閚∈N^*，故n=15…（13分）
由于ak=2×152-30×15+31=31=4k-1，故k=8
所以此數(shù)列共有15項(xiàng)，抽去的是第8項(xiàng)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值的集合的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．