Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_n-2010，n∈N*，A_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n為多少時(shí)A_n取得最大值或最小值？
（3）（理）是否存在正數(shù)K，使得對一切n∈N*均成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，說明理由．
（4）（文）求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)公差是d，公比是q，根據(jù)a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7，列出關(guān)于d、q的方程組，解出d、q即可求出求a_n，b_n的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)c_n≥0，求出n≥1005.5，當(dāng)c_n＞0，n≥1006，進(jìn)而可知當(dāng)n=1005時(shí)，A_n取得最小值；
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181948940904835/SYS201310241819489409048024_DA/0.png">等價(jià)于K≤F（n）_min，其中，研究其單調(diào)得出F（n）是遞增的，從而
（4）由于．利用錯(cuò)位相減法求得Sn=；
解答：解：（1）設(shè)a_n的公差為d，b_n的公比為q，則依題意有q＞0且
解得d=2，q=2．（2分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．（2分）
（2）因?yàn)閏_n=a_n-2010=2n-2011≥0?n≥1005.5，所以，當(dāng)1≤n≤1005時(shí)，c_n＜0，當(dāng)n≥1006時(shí)，c_n＞0．（2分）
所以當(dāng)n=1005時(shí)，A_n取得最小值．（2分）
（3）等價(jià)于K≤F（n）_min，
其中；（2分）
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181948940904835/SYS201310241819489409048024_DA/9.png">?4n²+8n+4＞4n²+8n+3?4＞3顯然成立，所以F（n）是遞增的．（4分）
從而．（2分）
或因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181948940904835/SYS201310241819489409048024_DA/13.png">，
所以：F（n）是遞增的．（4分）；
從而．（2分）
（4）．①（2分）
②
②-①得（2分）
==（3分）
=．（1分）
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法以及數(shù)列的最值問題，對于等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘形式數(shù)列，一般采取錯(cuò)位相減的辦法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一定要熟練掌握．