設(shè), 已知函數(shù) 

(Ⅰ) 證明在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增;

(Ⅱ) 設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線相互平行, 且 證明.

 

【答案】

見解析

【解析】(Ⅰ)證明:設(shè)函數(shù),

,因為,所以當(dāng)時,,

所以函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減;

,因為,所以當(dāng)時,

;當(dāng)時,,即函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

綜合①②及,可知函數(shù)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞增.因為曲線在點(diǎn)處的切線相互平行,從而互不相等,且.不妨設(shè),

==,可得,

解得,從而

設(shè),則,

=,解得,所以,

設(shè),則,因為,所以,

=,即.

本題第(Ⅰ)問,可以分兩段來證明,都是通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷單調(diào)性;第(Ⅱ)問,由切線平行知,切線的斜率相等,然后構(gòu)造函數(shù)解決.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時,要分段判斷;證明不等式時,一般構(gòu)造函數(shù)解決.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想、化歸思想、函數(shù)思想,考查綜合分析問題和解決問題的能力.

 

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設(shè),已知函數(shù)的定義域是,值域是,若函數(shù)

g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零點(diǎn),則(    )

   A.2           B.           C.1           D.0

 

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設(shè),已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),若曲線的一條切線的斜率是,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為                               

A.                   B.                    C.                      D.

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設(shè),已知函數(shù)的定義域是,值域是,若函數(shù)g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零點(diǎn),則(  )

  A.2      B.      C.1      D.0

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