Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．
（1）若p=2，求線段AF中點M的軌跡方程；
（2）若直線AB的方向向量為

n

=(1，2)，當焦點為F(

1

2

，0)時，求△OAB的面積；
（3）若M是拋物線C準線上的點，求證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數列．

Answer 1

（1）設A（x₀，y₀），M（x，y），焦點F（1，0），
則由題意

x= x0+1 2 y= y0 2

，即

x0=2x-1 y0=2y

…2分
所求的軌跡方程為4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，F(

1

2

，0)，直線y=2(x-

1

2

)=2x-1，…5分
由

y2=2x y=2x-1

得，y²-y-1=0，|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

5

2

…7分
d=

1

5

，…8分
S△OAB=

1

2

d|AB|=

5

4

…9分
（3）顯然直線MA、MB、MF的斜率都存在，分別設為k₁、k₂、k₃．
點A、B、M的坐標為A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-

p

2

，m)．
設直線AB：y=k(x-

p

2

)，代入拋物線得y2-

2p

k

y-p2=0，…11分
所以y1y2=-p2，…12分
又y12=2px1，y22=2px2，
因而x1+

p

2

=

y12

2p

+

p

2

=

1

2p

(y12+p2)，x2+

p

2

=

y22

2p

+

p

2

=

p4

2py12

+

p

2

=

p

2y12

(y12+p2)
因而k1+k2=

y1-m

x1+ p 2

+

y2-m

x2+ p 2

=

2p2(y1-m)

p(y12+p2)

+

2y12(- p2 y1 -m)

p(y12+p2)

=-

2m

p

…14分
而2k3=

0-m

p 2 -(- p 2 )

=-

2m

p

，故k₁+k₂=2k₃．…16分．