Question

用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[3.1]=3，[-3.4]=-4，[0]=0，設(shè)函數(shù)f（x）=[x]-x（x∈R），關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題：
①f（x）的值域?yàn)閇0，1）
②f（x）是偶函數(shù)  
③f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1  
④f（x）是增函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是：

③

．

Answer 1

分析：①可求出函數(shù)f（x）的取值范圍，即值域，可判斷①錯(cuò)誤．
②利用偶函數(shù)的定義，可以判斷②錯(cuò)誤．
③根據(jù)周期函數(shù)的定義，可驗(yàn)證函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，從而可判③正確．
④由③可知函數(shù)是周期函數(shù)，所以在定義域上函數(shù)不單調(diào)，所以可以判斷④錯(cuò)誤．

解答：解：①函數(shù){x}的定義域是R，但是-1＜[x]-x≤0，故函數(shù){x}的值域?yàn)椋?1，0]故①錯(cuò)誤．
②因?yàn)閒（-0.1）=[-0.1]-（-0.1）=-1+0.1=-0.9，而f（0.1）=[0.1]-0.1=0-0.1=-0.1，
所以f（-0.1）≠f（0.1），所以函數(shù)不是偶函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)閒（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]+1-x-1=[x]-x=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，所以③正確．
④由③可知函數(shù)是周期函數(shù)，所以在定義域上函數(shù)不單調(diào)，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)--定義域、值域、單調(diào)性、周期性．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用．