Question

18．已知橢圓C的焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，過(guò)F₁作直線l交C于A、B兩點(diǎn)，△F₂AB的周長(zhǎng)為8，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$

Answer 1

分析 由題意可知：設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，4a=8，a=2，c=1，b²=a²-c²=4-1=3，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意可知：橢圓C的焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，設(shè)橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
△F₂AB的周長(zhǎng)為8，即4a=8，a=2，
即c=1，
b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率，屬于基礎(chǔ)題．