（2012•虹口區(qū)一模）（1）求以x±2y=0為漸近線，且過點
2
7
，-
2
的雙曲線A的方程；
（2）求以雙曲線A的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓B的方程；
（3）橢圓B上有兩點P，Q，O為坐標原點，若直線OP，OQ斜率之積為
1
5
，求證：|OP|2+|OQ|2為定值．
分析：（1）利用待定系數(shù)法，設出雙曲線的方程，代入點的坐標，即可求得雙曲線A的方程；
（2）確定橢圓的焦點與頂點坐標，即可求得橢圓B的方程；
（3）直線與橢圓方程聯(lián)立，求得：|OP|2，|OQ|2的值，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：設雙曲線方程為x2-4y2=λ（λ≠0）
將
2
7
，-
2
代入，得λ=20，
∴雙曲線A：
x2
20
-
y2
5
=1…（3分）
（2）解：雙曲線A的頂點為
±
20
，0
，焦點為
±5，0

∴橢圓的頂點為
±5，0
，焦點為
±
20
，0
，
∴b2=5，
橢圓B：
x2
25
+
y2
5
=1…（6分）
（3）證明：設kOP=k，kOQ=
1
5k
，由
y=kx
x2
25
+
y2
5
=1
，得x2=
25
5k2+1
，
∴|OP|2=
25(k2+1)
5k2+1
…（10分）
同理可得|OQ|2=
5(25k2+1)
5k2+1
，
∴|OP|2+|OQ|2=
150k2+30
5k2+1
=30…（15分）
點評：本題考查雙曲線、橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，確定運用雙曲線、橢圓的性質(zhì)是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知向量
m
=（sinx，1），
n
=（
3
cosx，
1
2
），函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2
3
，c=2
2
，且f（A）是函數(shù)f（x）在（0，
π
2
]上的最大值，求：角A，角C及b邊的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π，將y=f（x）圖象向左平移?個單位長度(0＜?＜
π
2
)所得圖象關(guān)于y軸對稱，則?=
π
8
π
8
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知集合M=
1，2，3，4
，N=
1，3，5，7
，集合P=M∩N，則集合P的子集共有
4
4
個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，則點P到x軸的距離等于
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=loga
1-m(x-1)
x-2
（a＞0，a≠1）．
（1）若m=-1時，判斷函數(shù)f（x）在
2，+∞)
上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若對于定義域內(nèi)一切x，f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，求實數(shù)m的值；
（3）在（2）的條件下，當x∈
b，a
時，f（x）的取值恰為
1，+∞
，求實數(shù)a，b的值．

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