Question

設(shè)f（x）=ln（ax²+x+1），
（1）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得ax²+x+1＞0恒成立，可得 

a＞0 △=1-4a＜0

，由此求得a的范圍．
（2）由題意可得函數(shù)y=ax²+x+1能取遍所有的正實數(shù)，可得a=0，或

a＞0 △=1-4a≥0

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（ax²+x+1）的定義域為R，
∴ax²+x+1＞0恒成立，
∴

a＞0 △=1-4a＜0

，解得a＞

1

4

，即a的范圍為（

1

4

，+∞）．
（2）若f（x）的值域為R，則函數(shù)y=ax²+x+1能取遍所有的正實數(shù)，
∴a=0，或

a＞0 △=1-4a≥0

．
解得a=0，或0＜a≤

1

4

．
故所求的a的范圍為{0}∪{a|0＜a≤

1

4

}={a|0≤a≤

1

4

}．

點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．