Question

若A+B=

π

3

，tanA+tanB=

2 3

3

，則cosA•cosB的值是（　�。�

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：方法1：根據(jù)正切的和角公式，變形得到tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）．再將已知條件A+B=

π

3

，tanA+tanB=

2 3

3

代入，得到tanA+tanB=

2 3

3

，與tanA+tanB=

2 3

3

聯(lián)解可得tanA和tanB的值，最后討論A、B兩個角的取值，可得cosA=cosB=

3

2

或cosA=cosB=-

3

2

，從而得到cosA•cosB的值．
方法2：將已知式tanA+tanB=

2 3

3

化成正弦和余弦的表達式，可得

sin(A+B)

cosAcosB

=

2 3

3

，再結(jié)合已知A+B=

π

3

，代入計算，即可得到cosA•cosB的值．

解答：解：方法1：∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
將已知A+B=

π

3

，tanA+tanB=

2 3

3

代入，得
tan

π

3

（1-tanAtanB）=

2 3

3

⇒tanAtanB=

1

3

…①
又∵tanA+tanB=

2 3

3

…②，
∴①②聯(lián)解，得tanA=tanB=

3

3

∴A=

π

6

+mπ，B=

π

6

+nπ，其中m、n是整數(shù)
∵A+B=

π

3

，
∴整數(shù)m、n滿足m+n=0，m、n互為相反數(shù)．
因此cos（

π

6

+mπ）=cos（

π

6

+nπ）=cos

π

6

，或cos（

π

6

+mπ）=cos（

π

6

+nπ）=-cos

π

6

，
∴cosAcosB=cos（

π

6

+mπ）cos（

π

6

+nπ）=cos²

π

6

=

3

4

方法2：∵tanA+tanB=

2 3

3

，
∴

sinA

cosA

+

sinB

cosB

=

2 3

3

⇒

sinAcosB+cosAsinB

cosAcosB

=

2 3

3

∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），且A+B=

π

3

，
∴

sin π 3

cosAcosB

=

2 3

3

⇒cosA•cosB=

sin π 3

2 3 3

=

3

2

•

3

2 3

=

3

4

故選A

點評：本題在已知兩角之和和它們正切之和的情況下，求兩個角的余弦之積，著重考查了兩角和的三角函數(shù)公式和解簡單的三角函數(shù)方程等知識點，屬于基礎(chǔ)題．方法2采用切化弦，通分后再逆用正弦的和角公式，更為簡便，請同學們加以比較．