Question

11．若函數f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx+2，x∈[0，2π]，且關于x的方程f（x）=m有兩個不等實數根α，β，則sin（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦公式化簡函數的解析式為f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2，由題意可得2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2=m有兩個不等實數根α，β．且這兩個實數根關于直線x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$或直線x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$對稱，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．

解答 解：函數f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx+2=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx ）+2=2sin（x+$\frac{π}{3}$ ）+2．
再由x∈[0，2π]，可得$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2π+$\frac{π}{3}$，
∴-1≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，故0≤f（x）≤4．
由題意可得：2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2=m有兩個不等實數根α，β，
且這兩個實數根關于直線x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$或直線x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$對稱，
∴$\frac{α+\frac{π}{3}+β+\frac{π}{3}}{2}=\frac{π}{2}$或$\frac{α+\frac{π}{3}+β+\frac{π}{3}}{2}=\frac{3π}{2}$，
即α+β=$\frac{π}{3}$或α+β=$\frac{7π}{3}$，
∴sin（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的對稱性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．