Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N⁺）．
（1）證明：a_n+1＜a_n；
（2）證明：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤n+2-\frac{1}{n}$；
（3）證明：a_n$＞\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）化簡a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N⁺）后即可證明a_n+1＜a_n；
（2）先驗證n=1時成立，當(dāng)n≥2時利用分離常數(shù)法化簡后，由放縮法和裂項相消法證明不等式成立；
（3）由放縮法化簡$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$后，列出不等式進(jìn)行歸納、化簡證明不等式成立．

解答 證明：（1）由a_n+1=$\frac{{n}^{2}{a}_{n}}{{n}^{2}+1}$（n∈N⁺）得，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$＜1，
∴a_n+1＜a_n；
（2）當(dāng)n=1時，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=2$成立，
當(dāng)n≥2時，∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}}$=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=n+$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$
≤n+1+$\frac{1}{1•2}+\frac{1}{2•3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$
=n+1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=n+2-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}+\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}+…+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤n+2-\frac{1}{n}$；
（3）由（1）得，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}•\frac{n+1}{n}$，
則a_n+1＞a_n•$\frac{n-1}{n}•\frac{n+1}{n}$，
由a₁=1得，a₂=$\frac{1}{2}$，則n=1、2都成立，
當(dāng)n≥3時，a₃＞a₂•$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$，a₄＞a₃•$\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$＞a₂•$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$•$\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$，…
∴a_n＞a₂•$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$•$\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$…$\frac{n-2}{n-1}•$$\frac{n}{n-1}$=$\frac{n}{4（n-1）}$$＞\frac{1}{4}$，
綜上可得，a_n$＞\frac{1}{4}$對一切n∈N⁺都成立．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的化簡和應(yīng)用，以及裂項相消法求和，利用放縮法、歸納推理證明不等式等，考查化簡、變形能力，分析問題、解決問題的能力．