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已知函數f(x)是在(0，＋∞)上每一點處可導的函數，若x(x)＞f(x)在x＞0上恒成立．

(1)求證：函數(0，＋∞)上是增函數；

(2)當x1＞0，x2＞0時，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)已知不等式ln(1＋x)＜x在x＞－1且x≠0時恒成立，求證：…＋N+)．

答案：
解析：

　　(1)證明：由g(x)＝(x)＝

　　由x(x)＞f(x)可知：(x)＞0在x＞0上恒成立．

　　從而g(x)＝　　3分

　　(2)由(1)知g(x)＝

　　在x1＞0，x2＞0時，　

　　于是＜

　　兩式相加得到：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)　　7分

　　(3)由(2)中可知：

　　g(x)＝

　　由數學歸納法可知：xi＞0(i＝1，2，3，…，n)時，

　　有f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋x3＋…＋xn)(n≥2)恒成立．　　9分

　　設f(x)＝xlnx，則在xi＞0(i＝1，2，3，…，n)時

　　有x1lnx1＋x2lnx2＋…＋xnlnxn＜(x1＋x2＋…＋xn)ln(x1＋x2＋…＋xn)(n≥2)……(*)恒成立．

　　令…＋＝…＋

　　由＜…＋

　　＞…＋　　10分

　　(x1＋x2＋…＋xn)ln(x1＋x2＋…＋xn)＜(x1＋x2＋…＋xn)ln(1－…＋xn)

　　(∵ln(1＋x)＜x)＜－(**)　　12分

　　由(**)代入(*)中，可知：

　　…＋

　　于是：…＋　　13分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數,若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.?

(1)求證:函數g(x)=在(0,+∞)上是增函數;

(2)求證:當x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

(Ⅰ)求證：函數g(x)=在(0,+∞)上是增函數；

(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；

(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

(Ⅰ)求證：函數g(x)=在(0,+∞)上是增函數；

(Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

(Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)是在（0，+∞）上每一點處均可導的函數，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.

（Ⅰ）求證：函數g(x)=在（0，+∞）上是增函數；

（Ⅱ）求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);

（Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)是在(0，+∞)上處處可導的函數，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立．

(1)求證：函數g(x)=在(0，+∞)上單調遞增；

(2)求證：當x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．

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