Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=；
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx；
（3）y=2cos+2cosx．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)y=為y=2cos²x+2cosx，然后配方整理求出最值；
（2）令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化簡(jiǎn)y=sinx+cosx+sinxcosx，為y=．根據(jù)t的范圍求出函數(shù)的最值；
（3）利用兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)y=2cos+2cosx，然后利用兩角和的余弦函數(shù)推出y=2cos．然后求出最值．
解答：解：（1）y===2cos²x+2cosx=2-．
于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得y_max=4，但cosx≠1，
∴y＜4，且y_min=-，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-時(shí)取得．故函數(shù)值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214328944837374/SYS201310232143289448373019_DA/11.png">．
（2）令t=sinx+cosx，則有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=．
有y=f（t）=t+=．又t=sinx+cosx=sin，
∴-≤t≤．故y=f（t）=（-≤t≤），
從而知：f（-1）≤y≤f（），即-1≤y≤+．即函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214328944837374/SYS201310232143289448373019_DA/25.png">．
（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx
=2=2cos．
∵≤1
∴該函數(shù)值域?yàn)閇-2，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的最值的求法，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，（2）是難度較大題目．