Question

（本題滿分12分）
已知函數f (x)＝－ax³＋x²＋(a－1)x－ (x＞0)，(aÎR)．
(Ⅰ)當0＜a＜時，討論f (x)的單調性；
(Ⅱ)若f (x)在區(qū)間(a, a＋1)上不具有單調性，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）當0＜a＜時，f (x)在(0,1)，(－1,＋¥)遞減；在(1, －1)遞增
（2）(0，)∪(，1)．

試題分析：解：(Ⅰ) f (x)的定義域為.
＝－a(x－1)[x－(－1)]．               ……2分
當0＜a＜時，－1＞1，
∴f (x)在(0,1)，(－1,＋¥)遞減；在(1, －1)遞增；           ……4分
(Ⅱ) f (x)在區(qū)間上不具有單調性等價于f (x)在區(qū)間內至少有一個極值點．             ……5分
①當a＝時，f ¢(x)＝－ (x－1)²≤0Þf (x)在上遞減,不合題意； …7分
②當a≥1時，f ¢(x)＝0的兩根為x₁＝1,x₂＝－1，∵，故不合題意；③當，且a≠時，f (x)在區(qū)間上不具有單調性等價于：
或
，且a≠．                                         ……11分
綜上可知，所求的取值范圍是(0，)∪(，1)．                     ……12分
點評：這類問題的解決一般主要涉及兩類題型，求解單調區(qū)間，同時證明不等式恒成立問題。前者經常要對于參數分類討論，注意對于一元二次不等式的熟練運用，是解決這個題型的關鍵，后者主要是求解函數的最值來證明不等式。如果遞增，則說明函數在給定區(qū)間上導數恒大于等于零，反之，則恒小于等于零。來分離參數的思想求解參數的范圍。