Question

8．設(shè)a_n（n=2，3，4，…）是（3-$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，則$\frac{\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}+…+\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}}{{A}_{2016}^{3}}$的值是$\frac{1}{54}$．

Answer 1

分析 （3-$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中，通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{n}^{r}$3^n-r•（-1）^r${x}^{\frac{r}{2}}$，可得x的一次項(xiàng)的系數(shù)=${∁}_{n}^{2}$3^n-2.$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{9}$${∁}_{n}^{2}$，利用組合數(shù)的性質(zhì)可得：${∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}$+…+${∁}_{2015}^{2}$=${∁}_{2016}^{3}$．代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：（3-$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中，通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{n}^{r}$3^n-r•$（-\sqrt{x}）^{r}$=${∁}_{n}^{r}$3^n-r•（-1）^r${x}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1，解得r=2，則x的一次項(xiàng)的系數(shù)=${∁}_{n}^{2}$3^n-2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{9}$${∁}_{n}^{2}$，
∵${∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}$+…+${∁}_{2015}^{2}$=${∁}_{2016}^{3}$．
∴$\frac{\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}+…+\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}}{{A}_{2016}^{3}}$=$\frac{{∁}_{2016}^{3}}{9{A}_{2016}^{3}}$=$\frac{1}{9×3！}$=$\frac{1}{54}$．
故答案為：$\frac{1}{54}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及其性質(zhì)、排列與組合數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．