Question

設a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）解關于x的不等式f（2x-1）＞e+

1

e

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)建立條件關系即可求a的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可解關于x的不等式f（2x-1）＞e+

1

e

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），
即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
整理得（a-

1

a

）（

e2x-1

ex

）=0，
∴a-

1

a

=0，
∵a＞0，
∴a=1．
（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
設0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ex2+

1

ex2

-(ex1+

1

ex1

)=(ex2-ex1)(1-

1

ex1ex2

)，
∵0＜x₁＜x₂，∴ex2＞ex1，ex1ex2＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)且是偶函數(shù)；
則不等式f（2x-1）＞e+

1

e

等價為f（|2x-1|）＞f（1），
則|2x-1|＞1，
即2x-1＞1或2x-1＜-1，
解得x＞1或x＜0，
即不等式的解集為{x|x＞1或x＜0}．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系是解決本題的關鍵．