《選修4-5:不等式選講》
已知函數(shù).f(x)=|2x+1|+|2x-3|
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)不等式f(x)≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6,∴①
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,
或 ②
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,或 ③
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.
解①可得-1≤x<-
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,解②可得-
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≤x<
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,解③可得
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≤x≤2.
綜上可得,不等式的解集為 {x|-1≤x≤2}.
(2)∵關(guān)于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,∴|a-1|應(yīng)大于函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|的最小值.
而由絕對值的意義可得,f(x)表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-
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和
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對應(yīng)點(diǎn)的距離之和的2倍,
故函數(shù)f(x)的最小值為2×2=4,
故有|a-1|>4,化簡可得 a-1>4,或a-1<-4,解得 a>5,或a<-3,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 { a|a>5,或a<-3}.
分析:(1)由不等式f(x)≤6 可得 ①
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,或②
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,或③
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.分別求得①、②、③的解集,再取并集,即得所求.
(2)由題意可得|a-1|應(yīng)大于函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|的最小值,而由絕對值的意義可得f(x)的最小值為4,故有|a-1|>4,由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查絕對值的意義,絕對值不等式的解法,關(guān)鍵是去掉絕對值,化為與之等價(jià)的不等式組來解,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.