Question

如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，是的中點．

（1）求點到面的距離；

（2）求異面直線與所成的角；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

解：（1）取BC的中點D，連AD、OD

因為OB＝OC，則OD^BC、AD^BC，BC^面OAD.

過O點作OH^AD于H，則OH^面ABC，OH的長就

是所求的距離.  又BC＝2，OD＝

＝，又OA^OB，OA^OC OA^面OBC，則OA^OD

AD＝，在直角三角形OAD中，

有OH＝

（另解：由等體積變換法也可求得答案）

（2）取OA的中點M，連EM、BM，則

EM//AC,ÐBEM是異面直線BE與AC

所成的角，易求得EM＝，BE＝，

BM＝.由余弦定理可求得cosÐBEM＝，

ÐBEM＝arccos

（3）連CM并延長交AB于F，連OF、EF.

由OC^面OAB，得OC^AB，又OH^面ABC，所以CF^AB，EF^AB，則ÐEFC就是所求的二面角的平面角.

作EG^CF于G，則EG＝OH＝，在Rt△OAB中，OF＝

在Rt△OEF中，EF＝

sinÐEFG＝ÐEFG＝arcsin.（或表示為arccos）

注：此題也可用空間向量的方法求解。