Question

已知f（x）=x-

1

x

，若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[2，3]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)閨f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，所以只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a即可，因?yàn)閤₁，x₂∈[2，3]，且是同一個(gè)函數(shù)，所以只需研究函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最值即可．利用單調(diào)性容易解決問(wèn)題．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=x-

1

x

，所以f′（x）=1+

1

x2

＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，
所以f(x)min=f(2)=

3

2

，f(x)max=f(3)=

8

3

．
因?yàn)閨f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，所以只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a即可，因?yàn)閤₁，x₂∈[2，3]，且是同一個(gè)函數(shù)，
所以只需a≥f(x)max-f(x)min=

8

3

-

3

2

=

7

6

．．
即a≥

7

6

．
故答案為a≥

7

6

．．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的恒成立問(wèn)題，主要是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解．