Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°，如圖①把△ABD沿BD翻析，使得平面ABD⊥平面BCD．

（Ⅰ）求證：CD⊥AB；
（Ⅱ）若BN=

1

4

BC，求四面體CAND的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先證明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB；
（Ⅱ）過點A做AM⊥BD，交BD于M點，利用V_C-AND=

1

3

•

1

2

CN•CDsin∠DCN•AM，即可求四面體CAND的體積．

解答： （Ⅰ）證明：由已知條件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD，
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB；
（Ⅱ）解：過點A做AM⊥BD，交BD于M點，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AM⊥平面BCD，
由題意，CD⊥BD，∠DCN=45°
∵BN=

1

4

BC，∴NC=

3 2

2

，AM=1，
∴V_C-AND=

1

3

•

1

2

CN•CDsin∠DCN•AM=

1

3

•

3

2

•1=

1

2

．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．