Question

給出下列四個命題
①z₁，z₂∈C，z₁+z₂為實數(shù)的充要條件是；z₁，z₂互為共軛復數(shù)
②將5封信投入3個郵筒，不同的投法有5³種投遞方法；
③函數(shù)f（x）=e^-x•x²在x=2處取得極大值；
④對于任意n∈N^*，C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

都是偶數(shù)．
其中真命題的序號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：通過復數(shù)的共軛復數(shù)判斷①的正誤；
求出將5封信投入3個郵筒中，不同的投法有3⁵種，判定②錯誤；
用導數(shù)來研究f（x）的單調性與極值，判定③正確；
通過二項式定理系數(shù)的和判斷④的正誤．

解答： 解：例如z₁=2+i，z₂=6-i，z₁+z₂為實數(shù)，但是z₁，z₂不是共軛復數(shù)，所以①不正確．
對于②，將5封信投入3個郵筒，每一封信有3種不同的投法，
共有3×3×3×3×3=3⁵種投遞方法，∴②錯誤；
對于③，∵f（x）=e^-x•x²，∴f′（x）=-x²e^-x+2xe^-x=-x（x-2）e^-x；
∴當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當x＞2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴x=2時，f（x）取得極大值；∴③正確；
對于任意n∈N^*，C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

=2ⁿ≥2，都是偶數(shù)，即④正確．
其中真命題的序號是③④．
故答案為：③④．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)的奇偶性的判定，排列與組合的知識，用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值研究求函數(shù)在某一點處的切線方程問題，是綜合題目．