Question

18．已知點(diǎn)M（3，1），直線ax-y+4=0及圓（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）若直線ax-y+4=0與圓相切，求a的值．
（2）求過M點(diǎn)的圓的切線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于a的方程，解之即可得到a的值；
（2）根據(jù)圓的切線到圓心的距離等于半徑，可得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)方程為x=3，符合題意．而直線的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)斜式列式并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，得到切線方程為3x-4y-5=0，即可得到答案．

解答 解：（1）圓心坐標(biāo)C（1，2），半徑R=2，
若若直線ax-y+4=0與圓C相切，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=2，
解得a=0或a=$\frac{4}{3}$…（4分）
（2）圓心C（1，2），半徑為r=2，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3，
由圓心C（1，2）到直線x=3的距離d=3-1=2=r知，
直線與圓相切．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程y-1=k（x-3），
即kx-y+1-3k=0，
由題意知$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
即直線方程為y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），
即3x-4y-5=0，
綜上所述，過M點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及相交弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．