Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D為BC的中點(diǎn)．
（I）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B；
（II）求直線DA₁與平面BCC₁B₁所成角的大��；
（III）求二面角A-DC₁-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）要想證明面面垂直，只需證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可，平面ACC₁A₁中有直線AC，可證明AC垂直平面BCC₁B₁中兩條相交直線，則AC垂直平面BCC₁B₁，即可證明平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B．
（II）要求直線與平面所成角，只需求直線與她在平面內(nèi)的射影所成角即可，先在直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)向平面作垂線，再連接斜足和垂足，所得直線為射影，把直線與它在平面內(nèi)的射影放入同一個(gè)三角形中，利用解三角形，求出線面角．
（III）求二面角的大小，也就是求二面角的平面角的大小，可用三垂線法找到二面角的平面角，再放到一個(gè)三角形中，通過解三角形，得出結(jié)果．
解答：解：（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC=，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴CC₁⊥AC．
∵BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
∵AC?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B．
（II）∵A₁C₁∥AC，∴由（I）知，A₁C₁⊥平面BCC₁B，∴∠A₁DC₁為直線DA1與平面BCC₁B₁所成的角．
在Rt△DA₁C₁中，DC₁===
tan∠A₁DC₁==
故直線DA₁與平面BCC₁B₁所成角為arctan
（III）過C作CH⊥DC₁，垂足為H，連接AH，則由三垂線定理可知，DC₁⊥AH，從而∠AHC為二面角A-DC₁-C的平面角．
在Rt△CDC₁中，CD=BC=
CH==
tan∠AHC-=
故二面角A-DC₁-C大小為arctan．
點(diǎn)評：本題考查了直棱柱，直線與平面所成角，二面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力，邏輯推理能力