Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-2cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域及最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先運用三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據(jù)T=

2π

w

可求出最小正周期，值域為[-A+b，A+b]
（2）將2x-

π

6

看做一個整體，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，進而求出x的范圍，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-(cos2x+1)
=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)-1
=2sin(2x-

π

6

)-1.
由-1≤sin(2x-

π

6

)≤1，得-3≤2sin(2x-

π

6

)≤1.
可知函數(shù)f（x）的值域為[-3，1]．
T=

2π

2

=π，即函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）f（x）=2sin(2x-

π

6

)-1.
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z).
所以y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z).

點評：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法，一般都是將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題．