(2012•莆田模擬)如圖,F(xiàn)是拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),A是拋物線E上任意一點(diǎn).現(xiàn)給出下列四個結(jié)論:
①以線段AF為直徑的圓必與y軸相切;
②當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時,|AF|為最短;
③若點(diǎn)B是拋物線E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn),則當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)F時,|AF|+|BF|取得最小值;
④點(diǎn)B、C是拋物線E上異于點(diǎn)A的不同兩點(diǎn),若|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列,則點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
分析:①設(shè)A的坐標(biāo),求出圓心坐標(biāo),可得圓心到y(tǒng)軸的距離,圓的半徑,即可判斷以線段FA為直徑的圓與y軸相切;
②利用拋物線的定義得出|AF|=|x+
p
2
|,從而可得當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時,|AF|為最短;
③設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=x1+x2+p,顯然x1+x2=0,即A、B關(guān)于x軸對稱時,|AF|+|BF|取得最小值;
④設(shè)點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo),利用|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列,根據(jù)拋物線的定義,即可得到結(jié)論.
解答:解:①由已知拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)F(-
p
2
,0),設(shè)A(x1,y1),則圓心坐標(biāo)為(
2x1-p
4
,
y1
2
),∴圓心到y(tǒng)軸的距離為
p-2x1
4
,圓的半徑為
|FA|
2
=
1
2
p
2
-x1),∴以線段FA為直徑的圓與y軸相切.故①正確;
②設(shè)A(x,y),則|AF|=|x+
p
2
|,∴x=0時,即當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時,|AF|為最短,②正確;
③設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=x1+x2+p,顯然x1+x2=0,即A、B關(guān)于x軸對稱時,|AF|+|BF|取得最小值,故③不正確;
④設(shè)點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為a,b,c,則∵|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列,∴2|BF|=|AF|+|CF|,∴2(b+p)=(a+p)+(c+p),∴2b=a+c,∴點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列,故④正確.
綜上知,正確結(jié)論的個數(shù)是3個
故選C.
點(diǎn)評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到直線與圓的位置關(guān)系及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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