Question

4．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R都有f（x+1）=f（x）+cosπx，f（-x）=f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2^x-1，若函數(shù)F（x）=f（x）-log_a|x|（a＞1）恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，5）．

Answer 1

分析 利用f（x）的奇偶性判斷f（x）的周期，做出f（x）的圖象，根據(jù)F（x）為偶函數(shù)可知y=f（x）與y=log_ax有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象列出不等式解出a的范圍．

解答 解：∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．
∵f（x+1）=f（x）+cosπx，∴f（-x+1）=f（-x）+cos（-πx）=f（x）+cosπx，
∴f（-x+1）=f（x+1），
又f（-x+1）=f（x-1），
∴f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）周期為2，
令F（x）=0得f（x）=log_a|x|，
∵函數(shù)F（x）=f（x）-log_a|x|（a＞1）恰有6個(gè)零點(diǎn)，
y=f（x），y=log_a|x|是偶函數(shù)，
∴y=f（x）與y=log_ax有3個(gè)交點(diǎn)，
做出y=f（x）與y=log_ax的函數(shù)圖象如圖所示：

顯然0＜a＜1時(shí)，不符合題意，故a＞1．
由函數(shù)圖象可知$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}3＜1}\\{lo{g}_{a}5＞1}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5．
故答案為：（3，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期性與奇偶性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．