Question

已知向量

m

=（2sinωx，cosωx），

n

=（-

3

sinωx，2sinωx）（ω＞0）函數f（x）=

m

•

n

+

3

，直線x=x₁，x=x₂是函數y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求ω的值和函數f（x）的單調增區(qū)間；
（2）已知x∈[-

π

3

，θ]，f（x）∈[-

3

，2]，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）先根據題意表示出f（x）進而利用兩角和公式和二倍角公式化簡，根據題意推斷出函數的周期，求得ω的值，則函數解析式可得，最后根據正弦函數的單調性求得函數的單調增區(qū)間．
（2）根據函數的值域求得x的范圍，進而根據已知x的范圍確定θ的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=-2

3

sin²ωx+2cosωxsinωx=sin2ωx-

3

（1-cos2ωx）+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx=2sin（2ωx+

π

3

），
又∵直線x=x₁，x=x₂是函數y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，
∴函數y=f（x）的最小正周期為π，
故

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函數的單調增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

3

，θ]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，2θ+

π

3

]
由f（x））∈[-

3

，2]，
∴-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴

π

2

≤x≤

4π

3

，
∴

π

12

≤θ≤

π

2

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生分析和運算的能力．