Question

13．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，若對任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m²-2tm+2恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是[$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 將問題轉(zhuǎn)化為m²-2tm+1≤0對?m∈[1，2]恒成立，得不等式組，解出即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）的極小值即最小值是f（1）=1；
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以m²-2tm+2≤f（x）_min=f（1）=1即m²-2tm+1≤0對?m∈[1，2]恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1-2t+1≤0}\\{4-4t+1≤0}\end{array}\right.$，解得t≥$\frac{5}{4}$，
故答案為：[$\frac{5}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式恒成立問題，是一道中檔題．