(14分)設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程。

 

【答案】

解法一  設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|。由題設知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，∴圓P截x軸所得的弦長為r，故r2=2b2。又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r2=a2+1。從而得2b2-a2=1。又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離為d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，當且僅當a=b時，上式等號成立，從而要使d取得最小值，則應有，解此方程組得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。

解法二  同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2      ①

將a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1=0  ②  把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1。所以5d2有最小值1，從而d有最小值。將其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1。將b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1。綜上a=±1，b=±1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同號。于是，所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）設b>0，橢圓方程為，拋物線方程為。如圖所示，過點F（0，b + 2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G。已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1。

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）點G、所在的直線截橢圓的右下區(qū)域為D，

若圓C：與區(qū)域D有公共點，求m的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省高三上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且.

   （1）求橢圓的離心率；

   （2）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

   （3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。  

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年山東省高一下學期期中考試數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

設圓滿足條件：（1）截y軸所得的弦長為2；（2）被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3︰1；（3）圓心到直線：的距離為．求這個圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年廣州市七區(qū)聯(lián)考高二數(shù)學（理）下學期期末監(jiān)測 題型：解答題

（本小題滿分14分）

設動圓過點，且與定圓內(nèi)切，動圓圓心的軌跡記為曲線，點的坐標為．

（1）求曲線的方程；

（2）若點為曲線上任意一點，求點和點的距離的最大值；

（3）當時，在（2）的條件下，設是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點，記△的面積為，以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）設圓滿足條件：（1）截y軸所得的弦長為2；（2）被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3︰1；（3）圓心到直線：的距離為．求這個圓的方程．

  

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