6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{ax}{4{x}^{2}+16}$,g(x)=($\frac{1}{2}$)|x-a|,其中a∈R.
(1)若y=g(x)在[1,$\frac{3}{2}$]上的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)函數(shù)p(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x≥2}\\{g(x),x<2}\end{array}\right.$,若對任意x1∈[2,+∞],總存在唯一的x2∈(-∞,2),使得p(x1)=p(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)g(x)=($\frac{1}{2}$)|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{x-a},x≥a}\\{(\frac{1}{2})^{a-x},x<a}\end{array}\right.$,在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減;結(jié)合y=g(x)在[1,$\frac{3}{2}$]上的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,分類討論,可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的值;
(2)分①a≤0,②a>0,兩種情況,分別求出滿足對任意x1∈[2,+∞],總存在唯一的x2∈(-∞,2),使得p(x1)=p(x2)成立的實(shí)數(shù)a的取值,綜合討論結(jié)果,可得答案.

解答 解:(1)g(x)=($\frac{1}{2}$)|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{x-a},x≥a}\\{(\frac{1}{2})^{a-x},x<a}\end{array}\right.$,
在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減;
①當(dāng)a≤1時(shí),當(dāng)x=1時(shí),gmax(x)=$(\frac{1}{2})^{1-a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得:a=$\frac{1}{2}$;
②當(dāng)1<a<$\frac{3}{2}$時(shí),當(dāng)x=a時(shí),gmax(x)=$(\frac{1}{2})^{a-a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,無解;
③當(dāng)a≥$\frac{3}{2}$時(shí),當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí),gmax(x)=$(\frac{1}{2})^{a-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得:a=2;
綜上所述,a=2或$\frac{1}{2}$.
(2)①若a≤0,由x1≥2,p(x1)=f(x1)=$\frac{a{x}_{1}}{4{x}_{1}^{2}+16}$≤0,
x2<2,p(x2)=g(x2)=$(\frac{1}{2})^{|{x}_{2}-a|}$>0,
故p(x1)=p(x2)不可能成立;
②若a>0,當(dāng)x>2時(shí),
p(x)=f(x)=$\frac{ax}{4{x}^{2}+16}$=$\frac{a}{4x+\frac{16}{x}}$,
故p(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,
故p(x1)∈(0,f(2)]=(0,$\frac{a}{16}$];
1°若a≥2,由x<2時(shí),p(x)=g(x)=($\frac{1}{2}$)|x-a|=($\frac{1}{2}$)-x+a=($\frac{1}{2}$)a•2x,
∴p(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,
從而p(x2)∈(0,($\frac{1}{2}$)a-2),
要使p(x1)=p(x2)成立,
只需$\frac{a}{16}$<($\frac{1}{2}$)a-2成立即可,
由于函數(shù)q(a)=$\frac{a}{16}$-($\frac{1}{2}$)a-2在[2,+∞)上單調(diào)遞增,且q(4)=0,
∴2≤a<4;
2°若0<a<2,由x<2時(shí),p(x)=g(x)=($\frac{1}{2}$)|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{(\frac{1}{2})^{x-a},x≥a}\\{(\frac{1}{2})^{a-x},x<a}\end{array}\right.$,
∴p(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,2]上單調(diào)遞減;
從而p(x2)∈(0,g(a)]=(0,1],
要使p(x1)=p(x2)成立,
只需$\frac{a}{16}$<1,且$\frac{a}{16}$≤($\frac{1}{2}$)2-a成立即可,
即$\frac{a}{16}$≤($\frac{1}{2}$)2-a成立即可,
由0<a<2得:$\frac{a}{16}$<$\frac{1}{8}$,($\frac{1}{2}$)2-a>$\frac{1}{4}$,
故當(dāng)0<a<2時(shí),$\frac{a}{16}$≤($\frac{1}{2}$)2-a恒成立.
綜上所述:0<a<4.

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性,分類討論思想,難度中檔.

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