已知函數(shù),其中a>0.
(Ⅰ)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析時(shí)候,求出f(1)及f(1),利用直線方程的點(diǎn)斜式求切線方程;
(Ⅱ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段,判斷出原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性,然后根據(jù)a的范圍分析原函數(shù)在區(qū)間[2,3]上的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求出在a的不同取值范圍內(nèi)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)镽,且 f'(x)=2x2-4x+2-a.
當(dāng)a=2時(shí),,f'(1)=2-4=-2,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為 ,
即 6x+3y-5=0.
(Ⅱ)解:方程f'(x)=0的判別式△=8a>0,
令 f'(x)=0,得 ,或.f(x)和f'(x)的情況如下:
x(-∞,x1x1(x1,x2x2(x2,+∞)
f'(x)+-+
f(x)
故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,;單調(diào)減區(qū)間為
①當(dāng)0<a≤2時(shí),x2≤2,此時(shí)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值是=
②當(dāng)2<a<8時(shí),x1<2<x2<3,此時(shí)f(x)在區(qū)間(2,x2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,3)上單調(diào)遞增,
所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值是=
③當(dāng)a≥8時(shí),x1<2<3≤x2,此時(shí)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減,
所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值是f(3)==7-3a.
綜上,當(dāng)0<a≤2時(shí),f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值是;
當(dāng)2<a<8時(shí),f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值是;
當(dāng)a≥8時(shí),f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值是7-3a.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值,解答此題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)a的分類,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,是中檔題.
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已知函數(shù)(其中A>0,)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.

(Ⅰ)求的解析式;

(Ⅱ)當(dāng),求的值域;

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(本小題滿分14分)已知函數(shù)(其中A>0,)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)當(dāng),求的值域;

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已知函數(shù),其中a>0.
(1)、若x=1是y=f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
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已知函數(shù),其中a>0且a≠1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)x∈(-∞,2)時(shí),f(x)-4的值恒為負(fù)數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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