在平面內(nèi)，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
3
2
，P點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以橢圓的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)、并求出直角邊所在直線方程？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）由題意得
2a=4
c
a
=
3
2
，∴
a=2
c=
3
，∴b=1，
∴方程為：
x2
4
+
y2
1
=1．（5分）
（2）設(shè)BA的直線方程為設(shè)y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）
由
y=kx+1
x2
4
+
y2
1
=1
，得（1+4k2）x2+8kx=0，
∴x1=0，x2=
-8k
4k2+1
，（7分）
∴A(
-8k
4k2+1
，
-8k2
4k2+1
+1)，
∴AB=
(
-8k
4k2+1
)2+(
-8k2
4k2+1
)2
=
8k
4k2+1
k2+1
，
∴BC=
8
k2+1
k2+4
，
由AB=BC，得k（k2+4）=4k2+1，
即（k-1）（k2-3k+1）=0，即k=1或k=
3±
5
2

所以，存在3個(gè)等腰直角三角形．
直角邊所在直線方程為y=±x+1，y=
±3+
5
2
x+1，y=
±3-
5
2
x+1．…（15分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=
15
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)S（-
6
5
，0），且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)二模）給出下列3個(gè)命題：
①在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到F1（-1，0）、F2（1，0）兩點(diǎn)的距離之和等于2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓；
②在平面內(nèi)，已知F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），若動(dòng)點(diǎn)M滿足條件：|MF1|-|MF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是
x2
16
-
y2
9
=1；
③在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P（1，0）和到直線x-y-2=0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線．
上述三個(gè)命題中，正確的有（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

給出下列3個(gè)命題：
①在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到F1（-1，0）、F2（1，0）兩點(diǎn)的距離之和等于2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓；
②在平面內(nèi)，已知F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），若動(dòng)點(diǎn)M滿足條件：|MF1|-|MF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是數(shù)學(xué)公式；
③在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P（1，0）和到直線x-y-2=0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線．
上述三個(gè)命題中，正確的有


  1. A.
    0個(gè)
  2. B.
    1個(gè)
  3. C.
    2個(gè)
  4. D.
    3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：奉賢區(qū)二模 題型：單選題

給出下列3個(gè)命題：
①在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到F1（-1，0）、F2（1，0）兩點(diǎn)的距離之和等于2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓；
②在平面內(nèi)，已知F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），若動(dòng)點(diǎn)M滿足條件：|MF1|-|MF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是
x2
16
-
y2
9
=1；
③在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P（1，0）和到直線x-y-2=0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線．
上述三個(gè)命題中，正確的有（　�。�
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2008年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

給出下列3個(gè)命題：
①在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到F1（-1，0）、F2（1，0）兩點(diǎn)的距離之和等于2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓；
②在平面內(nèi)，已知F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），若動(dòng)點(diǎn)M滿足條件：|MF1|-|MF2|=8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是；
③在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P（1，0）和到直線x-y-2=0的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線．
上述三個(gè)命題中，正確的有（ ）
A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)

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