Question

已知a，b，c∈R₊，且a+b+c=1．證明：
（Ⅰ）a²+b²+c²≥

1

3

；
（Ⅱ）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式

分析：（Ⅰ）由題意得，1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），結(jié)論得證．
（Ⅱ）由題意得，

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，得到

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2（a+b+c），結(jié)論得證．

解答： 證明（Ⅰ）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．    
（Ⅱ）∵

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2（a+b+c），
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c=1，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1

點(diǎn)評(píng)：本題考查用比較法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，將式子變形是證明的關(guān)鍵．