Question

11．2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災，5.6萬人緊急轉移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農田受災，直接經濟損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經濟損失，將收集的數(shù)據分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如圖頻率分布直方圖：

（1）試根據頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）小明向班級同學發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款，現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助，設抽出損失超過8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（3）臺風后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款，小明調查的50戶居民捐款情況如圖，根據圖表格中所給數(shù)據，分別求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？

	經濟損失不超過4000元	經濟損失超過4000元	合計
捐款超過500元	a=30	b
捐款不超過500元	c	d=6
合計

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：臨界值表參考公式：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）求得各組區(qū)間的中點值，計算各個矩形的面積之和即可每戶居民的平均損失；
（2）由頻率分布直方圖可得，損失超過4000元的居民共有15戶；損失超過8000元的居民共有3戶，因此，ξ可能取值為0，1，2，運用排列組合的知識，可得各自的概率，由期望公式計算即可得到；
（3）由（2）可得a，b，c，d，運用臨界值參考公式，求出K²，與臨界值比較，即可有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關．

解答 解：（1）記每戶居民的平均損失為$\overline x$元，
則$\overline x$=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（4分）
（2）由頻率分布直方圖，可得超過4000元的居民共有
（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15戶，
損失超過8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，
因此，ξ的可能值為0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{22}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

數(shù)學期望E（ξ），$E（ξ）=0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}=\frac{2}{5}$…（8分）
（3）解得b=9，c=5，a+b=39，c+d=11，a+c=35，b+d=15，a+b+c+d=50，
${K^2}=\frac{{50×{{（{30×6-9×5}）}^2}}}{39×11×35×15}=4.046＞3.841$，
所以有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關…12元

點評 本題考查根據頻率分布直方圖求均值，以及隨機分布的概率和期望的計算，考查獨立性檢驗的概率情況，考查運算能力，屬于中檔題．