對于區(qū)間[m,n]上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果對任意x∈[m,n]均有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)與g(x)在[m,n]上是接近的;否則,稱f(x)與g(x)在[m,n]上是非接近的.現(xiàn)有兩個函數(shù)f1(x)=loga(x-3a)與f2(x)=loga
1x-a
(a>0且a≠1),f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,
(1)求a的取值范圍;
(2)問f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是否為接近的?請說明理由.
分析:(1)要使f1(x)與f2(x)有意義,則有
x-3a>0
x-a>0
a>0且a≠1
,由此能求出a的取值范圍.
(2)f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是接近的?|f1(x)-f(x2)|≤1?|loga(x-3a)-loga
1
x-a
|≤1
?|loga[(x-3a)(x-a)]|≤1?a≤(x-2a)2-a2
1
a
對于任意x∈[a+2,a+3]恒成立.由此入手能夠推導(dǎo)出當
9-
57
12
<a<1
時,f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是非接近的.
解答:解:(1)要使f1(x)與f2(x)有意義,則有
x-3a>0
x-a>0
a>0且a≠1

要使f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,等價于:
a+2>3a
a>0且a≠1

所以0<a<1.
(2)f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是接近的,?|f1(x)-f(x2)|≤1?|loga(x-3a)-loga
1
x-a
|≤1
?|loga[(x-3a)(x-a)]|≤1?a≤(x-2a)2-a2
1
a
對于任意x∈[a+2,a+3]恒成立.
設(shè)h(x)=(x-2a)2-a2,x∈[a+2,a+3],
且其對稱軸x=2a<2在區(qū)間[a+2,a+3]的左邊,
?
a≤h(x)min
1
a
≥h(x)max
?
a≤h(a+2)
1
a
≥h(a+3)
?
a≤4-4a
1
a
≥9-6a

?
a≤
4
5
a≤
9-
57
12
或a≥
9+
57
12
?0<a≤
9-
57
12
,
所以,當0<a≤
9-
57
12
時,f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是接近的;
9-
57
12
<a<1
時,f1(x)與f2(x)在給定區(qū)間[a+2,a+3]上是非接近的.
點評:本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要注意函數(shù)恒成立的充要條件的合理運用.
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1x-a
(a>0,a≠1)
(1)求f1(x)-f2(x)的定義域;
(2)若f1(x)與f2(x)在整個給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,
①求a的取值范圍;
②討論f1(x)與f2(x)在整個給定區(qū)間[a+2,a+3]上是不是接近的.

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(1)求f1(x)-f2(x)的定義域;
(2)若f1(x)與f2(x)在整個給定區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,
①求a的取值范圍;
②討論f1(x)與f2(x)在整個給定區(qū)間[a+2,a+3]上是不是接近的.

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