已知無窮數(shù)列{an}為等差數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，給出方程aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求證這些方程有一個(gè)公共根為-1；
（2）設(shè)這些方程除公共根以外的另一根為αi，且f（n）=（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）．求證：f（n）＜．（其中d為數(shù)列{an}的公差）
【答案】分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得ai+ai+2=2ai+1，x=-1代入所給方程可證明；
（2）由韋達(dá)定理可得，由此可得ai，進(jìn)而可用ai，d表示ai+1，則，用裂項(xiàng)相消法可得f（n），從而可證明；
解答：（1）證明：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以ai+ai+2=2ai+1，
將x=-1代入所給方程，得ai-2ai+1+ai+2=0（i=1，2，3，…）．
所以這些方程有一個(gè)公共根為-1；
（2）∵，∴，
∴，
∴（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）
=＜4d•=，即；
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，解決（2）問的關(guān)鍵時(shí)化簡f（n）．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知無窮數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=
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an-1，則數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知無窮數(shù)列{an}中a1=1，且滿足從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個(gè)常數(shù)-
1
2
，則無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)和
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•閔行區(qū)一模）已知無窮數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1=3，其前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（a≠0，a≠1，n∈N*）．若數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為-
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3
a，則a=
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•普陀區(qū)二模）已知無窮數(shù)列{an}中，a1，a2，…，am是以10為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列；am+1，am+2，…，a2m是以
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2
為首項(xiàng)，以
1
2
為公比的等比數(shù)列（m≥3，m∈N*）；并且對一切正整數(shù)n，都有an+2m=an成立．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，請依次寫出數(shù)列{an}的前12項(xiàng)；
（2）若a23=-2，試求m的值；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，問是否存在m的值，使得S128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知無窮數(shù)列{an}中，a1，a2，…，am構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為-2的等差數(shù)列am+1，am+2，…，a2m，構(gòu)成首項(xiàng)為
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2
，公比為
1
2
的等比數(shù)列，其中m≥3，m∈N+，
（l）當(dāng)1≤n≤2m，n∈N+，時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若對任意的n∈N+，都有an+2m=an成立．
①當(dāng)a27=
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時(shí)，求m的值；
②記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．判斷是否存在m，使得S4m+1≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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