Question

例1：試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）^2n-1（n∈N^*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x²-2x-1，g（t）=t²-2t-1．

Answer 1

解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)．
（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)．
（3）由于當(dāng)n∈N^*時，2n±1為奇數(shù)，∴f（x）==x，g（x）=（）^2n-1=x，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)．
（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為{x|x≥0}，而g（x）=的定義域為{x|x≤-1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)．
（5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)．
故（3）（5）都表示同一函數(shù)．
分析：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)．若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然．
點評：（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透．要知道，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f（x）=x²+1，f（t）=t²+1，f（u+1）=（u+1）²+1都可視為同一函數(shù)．
（2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù)．