分析:(1)先確定定義域?yàn)椋?,+∞),求導(dǎo)
f′(x)=,則由“f′(x)≥0,為增區(qū)間,f′(x)≤0,為減區(qū)間”求解.
(2)將“不等式lnx<mx對(duì)一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立”轉(zhuǎn)化為:“
m>對(duì)一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,”只要求得
f(x)=在x∈[a,2a](其中a>0)上的最大值即可.
(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù),作出函數(shù)f(x)的大致圖象.易知當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→0.又∵f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,由
=,即得a
b=b
a.
解答:解:(1)定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=,令
f′(x)==0,則x=e,
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞).(4分)
(2)∵不等式lnx<mx對(duì)一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,
∴分離m得,
m>對(duì)一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,
∴下面即求
f(x)=在x∈[a,2a](其中a>0)上的最大值;
∵a>0,由(2)知:f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.
當(dāng)2a≤e時(shí),即
0<a≤時(shí),f(x)在[a,2a]上單調(diào)遞增,∴
f(x)max=f(2a)=;
當(dāng)a≥e時(shí),f(x)在[a,2a]上單調(diào)遞減,∴
f(x)max=f(a)=;
當(dāng)a<e<2a時(shí),即
<a<e時(shí),f(x)在[a,e]上單調(diào)遞增,f(x)在[e,2a]上單調(diào)遞減,
∴
f(x)max=f(e)=.
綜上得:
當(dāng)
0<a≤時(shí),
m>f(2a)=;
當(dāng)a≥e時(shí),
m>f(a)=;
當(dāng)
<a<e時(shí),
m>f(e)=.(12分)
(3)正確,a的取值范圍是1<a<e.(16分)
注:理由如下,考慮函數(shù)f(x)的大致圖象.
當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→0.
又∵f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)的圖象如圖所示.
∴總存在正實(shí)數(shù)a、b且1<a<e<b,使得f(a)=f(b),
即
=,即a
b=b
a,此時(shí)1<a<e.