Question

平面上定點F（0，1）和定直線l：y=-1，P為該平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為Q，且(

PF

+

PQ

)•(

PF

-

PQ

)=0．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,證明題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）方法一、設(shè)動點P（x，y），則動點Q（x，-1），運用向量的加減運算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡即可得到；
方法二、運用平方差公式，結(jié)合斜率的平方即為模的平方，結(jié)合拋物線的定義，即可得到軌跡方程；
（2）運用平面幾何的知識：相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合斜率共線知識，以及拋物線的定義，即可得到定值0．

解答： 解：（1）方法一、設(shè)動點P（x，y），則動點Q（x，-1），
即有

PF

+

PQ

=（-x，1-y）+（0，-1-y）=（-x，-2y），

PF

-

PQ

=（-x，2），
（

PF

+

PQ

）•（

PF

-

PQ

）=x²-4y=0，
即有x²=4y，即為動點P的軌跡C的方程；
方法二、由于（

PF

+

PQ

）•（

PF

-

PQ

）=0，
則

PF

2-

PQ

2=0，即有|

PF

|=|

PQ

|，
即P到定點F的距離等于到定直線l的距離，
由拋物線的定義，可知P的軌跡為拋物線，且F為焦點，l為準(zhǔn)線，
即有軌跡方程為x²=4y；
（2）證明：如圖，由于

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，
可得，λ₁λ₂＜0，
于是

| NA |

| NB |

=-

λ1

λ2

•

| AF |

| BF |

，①
過A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A₁，B₁，
則

| NA |

| NB |

=

|AA1|

|BB1|

=

| AF |

| BF |

．②
由①②可得λ₁+λ₂=0．

點評：本題考查拋物線的定義和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，屬于中檔題．