Question

（2012•北海一模）已知函數(shù)f(x)=2ax-

b

x

+lnx．
（I）若f（x）在x=1，x=

1

2

處取和極值，
①求a、b的值；
②存在x0∈[

1

4

，2]，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）當(dāng)b=a時(shí)，若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

分析：（Ⅰ）①確定函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=1 ，x=

1

2

處取得極值，可得f′(1)=0 ， f′(

1

2

)=0，從而可建立方程組，即可求出a，b值；
②在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，則只需c≥[f（x）]_min，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最小值，即可求解；
（Ⅱ）當(dāng) a=b 時(shí)，f′(x)=

2ax2+x+a

x2

，分類(lèi)討論：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx；②當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＞0；③當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，從而可得結(jié)論

解答：解：（Ⅰ）①∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

∵f（x）在x=1 ，x=

1

2

處取得極值，
∴f′(1)=0 ， f′(

1

2

)=0
即

2a+b+1=0 2a+4b+2=0

⇒

a=- 1 3 b=- 1 3

，所以所求a，b值均為-

1

3

②在[

1

4

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，則只需c≥[f（x）]_min
由f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

2x2-3x+1

3x2

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

∴當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

]時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=

1

2

處有極小值
而f(

1

2

)=

1

3

+ln

1

2

=

1

3

-ln2 ，   f(2)=-

7

6

+ln2
又f(

1

2

)-f(2)=

3

2

-ln4=lne

3

2

-ln4，
因e3-16＞0 ， ∴  lne

3

2

-ln4＞0 ，      ∴  [f(x)]min=f(2)，
∴c≥  [f(x)]min=-

7

6

+ln2，
∴c∈ [-

7

6

+ln2，+∞)，
故 cmin=-

7

6

+ln2．
（Ⅱ）當(dāng) a=b 時(shí)，f′(x)=

2ax2+x+a

x2

①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，∴f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，從而得a≤-

2

4

，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上可得，a∈(-∞，-

2

4

]∪[0，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，用好導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．