Question

2．設(shè)函f（x）=lg$\frac{\sum_{i-1}^{n-1}{i}^{x}+{n}^{x}a}{n}$，其a∈R，對(duì)于任意的正整n）n≥3，如果不等f（x）＞（x-1）lgn在區(qū)[1，+∞）有解，則實(shí)a的取值范圍為（0，+∞）．

Answer 1

分析 依據(jù)題意利用函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)不等式求得1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x=g（x），根據(jù)n的范圍，判斷出g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，進(jìn)而求得函數(shù)g（x）的最大值，利用g（x）_max＞1-a求得a范圍．

解答 解：由題意可得f（x）=lg$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+{3}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞（x-1）lgn=lgn^x-1，
∴$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+{3}^{x}+…+（n-1）^{x}+{n}^{x}a}{n}$＞n^x-1，
∴1-a＜（$\frac{1}{n}$）^x+（$\frac{2}{n}$）^x+…+（$\frac{n-1}{n}$）^x=g（x），
∵$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…，$\frac{n-1}{n}$∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴g（x）_max=f（1）=$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{n-1}{2}$，
由題意知1-a＜$\frac{n-1}{2}$，
∴a＞$\frac{3-n}{2}$，
∵n是給定的正整數(shù)，且n≥3，
∴a＞0，
故a的取值范圍為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題給出對(duì)數(shù)型函數(shù)，求一個(gè)不等式在區(qū)間上有解的參數(shù)a的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的掌握，屬于中檔題．