Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）若x∈A是x∈B的充分條件，求a的取值范圍；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,交集及其運(yùn)算

專題：集合,簡易邏輯

分析：求解二次不等式化簡集合A．
（1）對a分類求解集合B，然后把x∈A是x∈B的充分條件轉(zhuǎn)化為含有a的不等式組求解a的范圍；
（2）由A∩B=∅，借助于集合A，B的端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式求解a的范圍．

解答： 解：A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，
B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，B=∅，不合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，B={x|a＜x＜3a}，要滿足題意，則

a≤2 3a≥4

，解得

4

3

≤a≤2．
當(dāng)a＜0時(shí)，B={x|3a＜x＜a}，要滿足題意，則

3a≤2 a≥4

，a∈∅．
綜上，

4

3

≤a≤2；
（2）要滿足A∩B=∅，當(dāng)a＞0時(shí)，B={x|a＜x＜3a}，則a≥4或3a≤2，即0＜a≤

2

3

或a≥4；
當(dāng)a＜0時(shí)，B={x|3a＜x＜a}，則a≤2或a≥

4

3

，即a＜0；
當(dāng)a=0時(shí)，B=∅，A∩B=∅．
綜上所述，a≤

2

3

或a≥4．

點(diǎn)評：本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了必要條件、充要條件的判斷與應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．