Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（1，0），若曲線C上存在一點P，使∠APB為鈍角，則稱曲線上有鈍點，下列曲線中“有鈍點的曲線”是（　�。�
①x²=4y；  ②$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；  ③x²-y²=1；  ④（x-2）²+（y-2）²=4；  ⑤3x+4y=4．

• A． ①②④
• B． ①②⑤
• C． ①④⑤
• D． ①③④

Answer 1

分析 設(shè)點P（x，y），曲線上有鈍點，?存在點（x，y）使得x²+y²＜1．解出即可判斷出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點P（x，y），曲線上有鈍點，?存在點（x，y）使得x²+y²＜1．
①令P$（x，\frac{{x}^{2}}{4}）$，則x²+$\frac{{x}^{4}}{16}$＜1，化為x⁴+16x²-16＜0，解得0≤x²＜4$（\sqrt{5}-1）$，滿足x²+y²＜1，因此是“有鈍點的曲線”．
②由$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，可得：c=1，因此A（-1，0），B（1，0）為橢圓的兩個焦點，橢圓上的點對焦點展開的角的最大值為橢圓短軸的兩個端點，由b=$\sqrt{2}$，可知：
∠APB為銳角，因此此橢圓上不存在一點P，使∠APB為鈍角．
③x²-y²=1，設(shè)P（secθ，tanθ），則sec²θ+tan²θ=2tan²θ+1≥1，因此雙曲線上不存在一點P，使∠APB為鈍角．
④由（x-2）²+（y-2）²=4，設(shè)x=2+2cosθ，y=2+2sinθ，則x²+y²=（2+2cosθ）²+（2+2sinθ）²=12+8$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[12-8\sqrt{2}，12+8\sqrt{2}]$，
滿足存在點（x，y）使得x²+y²＜1，因此此圓上存在一點P，使∠APB為鈍角．適合條件．
⑤取3x+4y=4上點P$（x，1-\frac{3}{4}x）$，則x²+$（1-\frac{3}{4}x）^{2}$=$\frac{25}{16}$$（x-\frac{12}{25}）^{2}$+$\frac{16}{25}$≥$\frac{16}{25}$，因此次直線上存在一點P，使∠APB為鈍角．適合條件．
綜上可得：“有鈍點的曲線”是①④⑤．
故選：C．

點評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)，不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．