已知平面向量
a
，
b
滿足|
a
|=1，
b
與
a
-
b
的夾角是120°，則
b
2-(
a
•
b
)2的最大值是
 
．
考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：由題意可得
b
2-(
a
•
b
)2=
b
2•sin2θ．設
OA
=
a
，
OB
=
b
，則
BA
=
.
a
-
b
，由題意可得∠OBA=60°，由正弦定理求得
b
2=
4
3
sin2（120°-θ），把要求的式子化為
4
3
[
1
2
sin(2θ-
π
6
)+
1
4
]2，再利用正弦函數(shù)的值域，求得它的最大值．
解答： 解：設向量
a
與
b
的夾角為θ，則由題意可得
a
•
b
=1×|
b
|×cosθ=|
b
|×cosθ．
則
b
2-(
a
•
b
)2=
b
2-
b
2cos2θ=
b
2（1-cos2θ）=
b
2•sin2θ．
設
OA
=
a
，
OB
=
b
，則
BA
=
.
a
-
b
，由題意可得∠OBA=60°，
∠AOB=θ，如圖所示：
△OAB中，由正弦定理可得
1
sin60°
=
|
b
|
sin(120°-θ)
，
∴
b
2=
4
3
sin2（120°-θ），
∴要求的式子即
b
2•sin2θ=
4
3
sin2（120°-θ）•sin2θ
=
4
3
[
3
2
sinθcosθ+
1
2
 sinθsinθ]2=
4
3
 [
3
4
sin2θ-
1
4
cos2θ+
1
4
]2 
=
4
3
[
1
2
sin(2θ-
π
6
)+
1
4
]2≤
4
3
×(
1
2
+
1
4
)2=
3
4
，
故答案為：
3
4
．
點評：本題主要考查用兩個向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，正弦函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=2lnx-
1
x
，對于任意的x1，x2∈（0，+∞），有|f（x1）-f（x2）|≥m|
1
x1
-
1
x2
|，則實數(shù)m的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，刮風的概率為
2
15
，既刮風又下雨的概率為
1
10
，設A為刮風，B為下雨，則P（B|A）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為30°，則|
a
+
b
||
a
-
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

按要求計算下列問題：
（1）如圖（1），輸出的結果是
 
；
（2）如圖（2），程序運行后輸出的結果為：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
∫
x
a
12t2dt且
∫
1
0
f（x）dx=1，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=sin（
π
2
x+
π
3
），若對任意x∈R，存在x1，x2使f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，則|x1-x2|的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若x是一個三角形的最小內角，則函數(shù)y=2
2
sin（x-
π
3
）的值域是（　　）
A、（-2
3
，2
3
）
B、（-
6
，0]
C、[
3
-1，3）
D、（-2
3
，0）

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