Question

定義在R上的函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數(shù)a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①?x₀∈[a，b]，f（x₀）=0；　　　　　 ②?x₀∈[a，b]，f（x₀）＞f（b）；
③?x₀∈[a，b]，f（x₀）≥f（a）；　　 ④?x₀∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f'（x₀）（a-b）．
其中結(jié)論正確的個數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數(shù)a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0，說明函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)至少有一個增區(qū)間和一個減區(qū)間．
解答：定義在R上的函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數(shù)a，b（a＜b），有f'（a）＞0，f′（b）＜0，說明在區(qū)間（a，b）內(nèi)存在x₀，使f^′（x₀）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極大值點，同時說明函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)至少有一個增區(qū)間和一個減區(qū)間．
由上面的分析可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上不一定有零點，故①不正確；
因為函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有極大值點，與實數(shù)b在同一個減區(qū)間內(nèi)的極大值點的橫坐標(biāo)就是存在的一個x₀，所以②正確；
函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]的兩個端點處的函數(shù)值無法判斷大小，若f（b）＞f（a），取x₀=a，則③不正確；
當(dāng)f（a）＞f（b），且x₀是極大值點的橫坐標(biāo)時結(jié)論④正確．
故選B．
點評：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．