Question

已知函數(shù)f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ，其中x∈R,θ為參數(shù)，且0≤θ＜2π．

(Ⅰ)當cosθ=0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

(Ⅱ)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；

(Ⅲ)若對(Ⅱ)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)α的取值范圍

Answer 1

本小題主要考查運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學思想方法．

(Ⅰ)解：當cosθ=0時，f(x)=4x³，則f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值．

(Ⅱ)解：f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

x₁=0，x₂=.

由(Ⅰ)，只需分下面兩種情況討論．

當cosθ＞0時，隨x的變化，f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：

因此，函數(shù)f（x）在x=處取得極小值f（），且

f（）=.

   要使f（）＞0，必有，可得

0＜cosθ＜.

    由于0≤θ＜2π，故

或

②當cosθ＜0時，隨x的變化，f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

因此，函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0），且

f（0）=cosθ

若f（0）＞0，且cosθ＞0.矛盾.所以當cosθ＜0時，f（x）的極小值不會大于零.

綜上，要使函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)θ的取值范圍為

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與（，+∞）內(nèi)都是增函數(shù).

由題設，函數(shù)f(x)在(2a-1,a)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組

    或 

由(Ⅱ),參數(shù)θ∈時，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ關于參數(shù)θ恒成

立，必有2a-1≥_，即.

綜上，解得a≤0或＜1.所以a的取值范圍是

(-∞,0]∪［，1）